Cours 11: Contrôle du Stall flutter en torsion : Le contrôle asymptotique

Cours 11: Contrôle du Stall flutter en torsion : Le modèle de contrôle : Le contrôle asymptotique

2.4 Le contrôle asymptotique

Le contrôle asymptotique

On cherche a priori un développement asymptotique en puissance de $\varepsilon $ des variables $\alpha ,p$ et $\beta $. Posons:

\[ \boxed {\begin{array}{l}\alpha =\alpha ^0+\varepsilon \ldots ,\\ p=p^0+\varepsilon p^1+\ldots ,\\ \beta =\beta ^0+\varepsilon \ldots \end{array}} \]

L’identification des termes d’ordre zéro et un conduit notamment ici à:

\[ \boxed {p^0=0 \hbox{ et }\beta ^0=-bp^1.} \]

Reste à identifier le terme $p^1$ et l’état $\alpha ^0$ ce qui conduira à l’expression de $\beta ^0$. Cela nous conduit au système non linéaire de l’écran suivant.

Le contrôle asymptotique (suite)

En calquant la démarche du cours 10, nous sommes conduits à résoudre le système non linéaire suivant en $(P_0,P_1)$ qui sont inconnues ($q$ et ses dérivées sont calculées en $(\alpha ^0,\dot\alpha ^0)$) :

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\[ \boxed {\begin{array}{l}\ddot\alpha ^0+D\dot\alpha ^0+(C-C_{aero})(\alpha ^0-\alpha _0)=q(\alpha ^0,\dot\alpha ^0)-bp^1,\\ \alpha ^0(0)=\tilde\alpha _0=\alpha _0+\delta \alpha _0,\dot\alpha ^0(0)=\alpha _1,p^1(0)=P_0,\dot p^1(0)=P_1, \\ \hskip-1.42263779528pt\ddot p^1\hskip-1.42263779528pt-\hskip-1.42263779528pt(D\hskip-1.42263779528pt-\hskip-1.42263779528pt\displaystyle \frac{\partial q}{\partial \dot\alpha })\dot p^1\hskip-1.42263779528pt+\hskip-1.42263779528pt(C\hskip-1.42263779528pt-\hskip-1.42263779528ptC_{aero}\hskip-1.42263779528pt-\hskip-1.42263779528pt\displaystyle \frac{\partial q}{\partial \alpha }\hskip-1.42263779528pt+\hskip-1.42263779528pt\displaystyle \frac{\partial ^2 q}{\partial \alpha \partial \dot\alpha }\dot\alpha ^0\hskip-1.42263779528pt+\hskip-1.42263779528pt\displaystyle \frac{\partial ^2 q}{\partial \dot\alpha ^2}\ddot\alpha ^0)p^1\hskip-1.42263779528pt=\hskip-1.42263779528pt0,\\ \forall Z\in {\mathbb R}^2,b^2\displaystyle \int _0^ Tp^1z-\displaystyle \int _0^ Tq(\alpha ^0,\dot\alpha ^0)z=(\alpha _1+D\tilde\alpha _0)Z_0-\tilde\alpha _0Z_1,\\ \hbox{où: } \ddot z-D\dot z+(C-C_{aero})z=0,z(0)=Z_0,\dot z(0)=Z_1,\\ \hbox{Le contrôle asymptotique est alors: }\boxed {\beta ^0=-bp^1.}\end{array}} \]