Cours 12: Application: A class America’s cup: Stabilisation et contrôle

Cours 12: Application: A class America’s cup : Linéarisation : Stabilisation et contrôle

2.3 Stabilisation et contrôle

Stabilisation et contrôle

$\forall \varepsilon {>}0$, on introduit un critère de contrôle (voir cours 9):

\[ J^\varepsilon (\delta )=\displaystyle \frac{1}{2}\vert \vert X(T)\vert \vert ^2+\displaystyle \frac{1}{2}\vert \vert \dot X(T)\vert \vert ^2+\displaystyle \frac{\varepsilon }{2}\displaystyle \int _0^ T[a_0\delta ^2(s)+b_0\dot\delta ^2(s)]ds, \]

où:

\[ X=\left(\begin{array}{l}z\\ \gamma \end{array}\right),X_0=\left(\begin{array}{l}\delta z_0\\ \delta \gamma _0\end{array}\right),X_1=\left(\begin{array}{l}\delta z_1\\ \delta \gamma _1\end{array}\right) \]

et $X$ est solution de ($X_0$ et $X_1$ sont des perturbations initiales dues par exemple à la houle et les matrices ${\mathcal M},{\mathcal K},{\mathcal C}$ et les vecteurs ${\mathcal B},{\mathcal E}$ sont self explanatory:

\[ \boxed {{\mathcal M}\ddot X-{\mathcal C}\dot X+{\mathcal K}X={\mathcal B}\delta +{\mathcal E}\dot\delta ,X(0)=X_0,\dot X(0)=X_1.} \]

Le problème de contrôle consiste alors à trouver $\delta \in H^1_0(]0,T[)$ qui minimise $J^\varepsilon $ pour une perturbation initiale donnée. La discussion sur la contrôlabilité est celle du cours 9. Mais les détails sont dans le document AC .