Cours 12: Application: A class America’s cup: Etude de la stabilité

Cours 12: Application: A class America’s cup : Linéarisation : Etude de la stabilité

2.2 Etude de la stabilité

Etude de la stabilité 1

On néglige sur cette écran, l’effet de l’incidence apparente. La discussion sur la stabilité conduit à étudier les parties réelles des pulsations propres $\mu =\sqrt {\lambda }$ solutions de:

\[ \det \left\vert \begin{array}{l}\begin{array}{cc}-\mu ^2 M,& \mu ^2 aM-\varrho V^2R_1\end{array}\\ \begin{array}{cc}\mu ^2 aM,& -\mu ^2J_0-\varrho V^2R_2\end{array}\end{array}\right\vert =\lambda (\lambda J_ G+\varrho V^2M(R_2+aR_1))=0. \]

La valeur propre $\lambda =0$ correspond au mouvement de pilonnement (on calcule aisément le vecteur propre associé) qui est contré en naviguation, par un pilotage de la poussée vélique et donc de la vitesse du bateau $V$.
L’autre valeur propre ${\lambda =-V^2 \varrho M \frac{R_2+aR_1}{J_ G} ={>} \mu =\pm \sqrt {\lambda }}$ conduit à un mouvement stable si $ {R_2+aR_1 {<} 0.}$ Sinon, il y a une instabilité de tangage. Comme $a$ est petit, $R_2$ a le signe de $\frac{\partial c_{mf}}{\partial \alpha }(\alpha _0)-\frac{\partial c_{ms}}{\partial \alpha }(\beta _0)$.
On voit donc qu’il ne faut pas trop diminuer l’angle de calage du foil $\alpha _0$ sous peine de faire enfourner le bateau, ce qui est à la fois dangereux et pénalisant pour la performance en régate (voir film p. 14). Mais le contrôle actif bien ajusté sur $\alpha -\alpha _0$ va permettre de maîtriser cet effet négatif. On notera que l’existence de l’instabilité ne dépend pas de $V$.

Etude de la stabilité 2

On prend en compte sur cet écran, la matrice d’amortissement $-C$ (ou désamortissement en cas de stall flutter). L’équation, dont il faut étudier les racines, est cette fois:

\[ \boxed {\begin{array}{l}\det \left\vert \begin{array}{l}\begin{array}{cc}-\mu ^2M-i\mu C_{11}& \mu ^2 aM -i\mu C_{12}-\varrho V^2R_1\end{array}\\ ~ \\ \begin{array}{cc} \mu ^2a M-i\mu C_{21}& -\mu ^2J_0-i\mu C_{22}-\varrho V^2R_2\end{array}\end{array}\right\vert =\\ ~ \\ \mu ^4J_ G + i \mu ^3(\displaystyle \frac{J_0}{M}C_{11}+C_{22}+a(C_{12}+C_{21}))+\mu ^2(\varrho V^2(R_2+aR_1)-\displaystyle \frac{C_{11}C_{22}-C_{12}C_{21}}{M})\\ ~ \\ +i \displaystyle \frac{\mu \varrho }{M} V^2(R_2C_{11}-R_1C_{21})=0\end{array}} \]

Outre $\mu =0$, il y a en général trois solutions. Leur étude se fait de façon numérique, mais on peut aussi utiliser une méthode de perturbation des solutions de l’écran précédent en se basant sur le fait que les coefficients $C_{ij}$ sont en général petits.