Cours 3: Le tremblement (buffting): Linéarisation

Cours 3: Le tremblement (buffting) : Le phénomène de tremblement : Linéarisation

1.2 Linéarisation

Linéarisation

Le moment de flexion $J_0\times M$ dépend de $\dot\alpha $ de deux façons différentes:

d’une part, par le phénomène de vent apparent, dont la vitesse est notée $u_ a$, et l’angle d’incidence $\alpha _ a$;
et d’autre part, par le fait que le lâcher tourbillonnaire peut dépendre de $\dot\alpha $ par remontée du champ de pression instationnaire sur les couches limites de la voilure principale d’où partent ces tourbillons.

Pour simplifier la compréhension du phénomène, nous ne prenons pas en compte ces dépendances dans ce qui suit.
Le modèle linéarisé est donc (on pose $\omega ^2a(t)=-\displaystyle \frac{\partial M}{\partial \alpha }(t,\alpha _0,0)$):

\[ \boxed {\ddot\alpha +\omega ^2(1+a(t))(\alpha -\alpha _0)=M(t,\alpha _0,0), +C.I.} \]

La difficulté provient de la dépendance par rapport au temps $t$, de la raideur proportionnelle à:

\[ (\omega ’(t))^2=\omega ^2-\frac{\partial M}{\partial \alpha }(t,\alpha _0,0)=\omega ^2(1+a(t)). \]

Ecriture sous forme canonique du modèle

On pose:

\[ \begin{array}{l} X=\left(\begin{array}{l}\alpha -\alpha _0\\ \dot\alpha \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{l}0\\ M(t,\alpha _0,0)\end{array}\right) , A=\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{l}0\\ -\omega ^2 (1+a(t))\end{array}& \hskip-8.53582677165pt\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\end{array}\right)\\ \hbox{ et le modèle à résoudre est équivalent à:} \\ ~ \\ {\boxed {\dot X=AX+B,X(0)=X_0.}}\end{array} \]

Théorème Existence, unicité, caractérisation de $X$

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On suppose que: $t\rightarrow M(t,\alpha _0,0),\displaystyle \frac{\partial M}{\partial \alpha }(t,\alpha _0,0)\in L^1(]0,T[),T{>}0;$ alors: $\exists ! X\in {C}^0([0,T],{\mathbb R}^2)$ solution de l’équation ci-dessus avec:

\[ X(t)=\Phi (t)X_0+\Phi (t)\displaystyle \int _0^ t\Phi ^{-1}(s)B(s)ds \]

où : $\Phi (t) = exp(\displaystyle \int _0^ t A(s)ds).$