Cours 3: Le tremblement (buffting) : La méthode de Gustave Floquet

2 La méthode de Gustave Floquet

Le modèle de Gustave Floquet

On notera que:

\[ \displaystyle \frac{d}{dt}[\hbox{det}(\Phi (t))]=Tr(A(t))\hbox{det}(\Phi (t))=0. \]

On en déduit que: $\boxed {\hbox{det}(\Phi (t))=\hbox{det}(\Phi (0))=1.}$
Donc $\Phi $ est bien inversible. De plus, si on suppose que $M$ donc $A$ est périodique, de période $T$, on obtient:

\[ \begin{array}{l}\hskip-8.53582677165pt\displaystyle \frac{d}{dt}[\Phi ^{-1}(t)\Phi (t+T)]=-\Phi ^{-1}(t)\displaystyle \frac{d}{dt}\Phi (t)\Phi ^{-1}(t)\Phi (t+T)+\Phi ^{-1}(t)\displaystyle \frac{d}{dt}\Phi (t+T)\\ =-\Phi ^{-1}(t)A(t)\Phi (t+T)+\Phi ^{-1}(t)A(t)\Phi (t+T)=0.\end{array} \]

Donc $\exists !$ une matrice constante $C$ telle que:

\[ \begin{array}{l}\Phi ^{-1}(t)\Phi (t+T)=C={>}\Phi (t+nT)=\Phi (t+(n-1)T)C\\ \hbox{ et finalement: }\boxed { \forall t\in [0,T], \Phi (t+nT)=\Phi (t)C^ n,C=\Phi (T).}\end{array} \]

2.1 Critère de stabilité
2.2 Un exemple de résonance paramétrique