Cours 3: Le tremblement (buffting): Un exemple de résonance paramétrique

Cours 3: Le tremblement (buffting) : La méthode de Gustave Floquet : Un exemple de résonance paramétrique

2.2 Un exemple de résonance paramétrique

Un exemple de résonance paramétrique

Posons par exemple:

\[ a(t)=\left\{ \begin{array}{l}0\hbox{ si }t\in [0,T/2[,\\ -a_0\hbox{ si }t\in [T/2,T[\end{array}\right. \]

Le calcul de $C$ conduit à l’expression suivante:

\[ \boxed { Tr(C)=2 \cos (\frac{\omega T}{2})\cos (\frac{\omega 'T}{2})-(\frac{\omega }{\omega '}+\frac{\omega '}{\omega })\sin (\frac{\omega ' T}{2})\sin (\frac{\omega T}{2})} \]

et le critère de stabilté est donc:

\[ \boxed { \vert \cos (\frac{\omega T}{2})\cos (\frac{\omega 'T}{2})-\frac{1}{2}(\frac{\omega }{\omega '}+\frac{\omega '}{\omega })\sin (\frac{\omega ' T}{2})\sin (\frac{\omega T}{2})\vert {<} 1} \]

Une représentation graphique sur l’écran suivant indique les zone stables et instables . En abscisse nous avons porté la période $T$ de la fonction $a(t)$ et en ordonnée l’amplitude $a_0$. Les zones instables sont en jaunes. Celles qui sont stables en bleues. Un zoom est disponible ici:

Zones instables

Visualisation des zones instables dans l’équation de Hill précédente

On a porté $T$ en abscisse et l’amplitude $a_0$ de la perturbation en ordonnée. On notera que les instabilités dites paramériques, sont initiées aux différentes harmoniques de la fréquence fondamentale (tonale) du système non perturbé.

$\includegraphics[width=9cm,height=5cm]{aeroimages/image3-13.png}$

Simulations numériques

Visualisation des zones instables

Le programme proposé permet pour la fonction $a(t)$ définie plus haut de visualiser les zones de stabilité en fonction de $a$ (ordonnée) et de $\omega T$ (abscisse).

Vous pouvez changer $a(t)$.

Voir le code : python , matlab .

Programme à modifier (version matlab)

$\includegraphics[width=7.4cm,height=6.25cm]{aeroimages/image3-14}$