2 Discussion des instabilités

Discussion des instabilités

• Si $V=0={>}\Delta =\omega _1^2(\xi -1)+(\omega _1-\omega _2)^2{>}0={>}$
  Deux racines en $\lambda {>}0={>}$ stable;

• $\boxed {V{>}V_ c=\omega _2\sqrt {\displaystyle \frac{J_ G}{Q}}=\sqrt {\displaystyle \frac{c}{Q}}={>}\lambda _1\lambda _2{<}0 ={>}\hbox{ instable}}$

• Si $V{<}V_ c,\Delta =AV^4+2BV^2+C$
  

  $\bullet $ Si $\Delta {>}0$ => stable $\bullet $ Si $aR=Q$ => $\Delta =2BV^2+C$ si $Q{>}0$ => stable; $\bullet $ Si $aR=Q$ et $Q{<}0$ stable si $V{<}V_{f_0}=\frac{1}{2\omega _1}\sqrt {\frac{CJ_ G}{-Q}};$

  $\hspace{-.8cm}\boxed {\begin{array}{l}A=\frac{(aR-Q)^2}{J_ G^2},\\ B=2\frac{\omega _1^2Q}{J_ G}+(\omega _1^2\xi +\omega _2^2)\frac{aR-Q}{J_ G},\\ C=(\omega _1^2\xi +\omega _2^2)^2-4\omega _1^2\omega _2^2. \end{array}}$

• $\delta ’=B^2-AC=\frac{4\omega _1^2}{J_ G^2}[Q^2(\omega _1^2(1-\xi )+QaR(\omega _1^2\xi -\omega _2^2)+a^2R^2\omega _2^2]$
  $\bullet $ si $\delta ’{<}0$ => stable,
   
  $\bullet $ si $\delta ’{>}0$ => flutter si $V_{f_ e}{<}V{<}V_{f_ s}$; $V_{f_ e},V_{f_ s}$ racines de $\Delta $.