Cours 5: Quelques outils fondamentaux: A propos des EDOs

Cours 5: Quelques outils fondamentaux : La toolbox de l’aéroélasticité : A propos des EDOs

1.1 A propos des EDOs

A propos des EDOs

Considérons l’équation différentielle ordinaire suivante:

\[ M\ddot X+C\dot X+KX=F(X,\dot X),X(0)=X_0,\dot X(0)=X_1, X(t)\in {\mathbb R}^ N \]

Nous ferons pour ce cours 5, l’ hypothèse suivante:

\[ F\in {\cal C}^1({\mathbb R}^{2N};{\mathbb R}^ N). \]

Théorème Cartan existence unicité d’une solution

L’équation ci-dessus admet une solution unique pour tout temps fini (cette notion de temps fini est particulièrement importante comme nous le verrons dans la suite).

Corollaire Une conséquence simple mais utile

Le diagramme de phase (trajectoire dans l’espace $(X(t),\dot X(t))\in {\mathbb R}^{2N}$ ne peut pas avoir de point double en temps fini.

Diagramme de phase

$\includegraphics[width=5.2cm,height=6cm]{aeroimages/image5-3}$

Le résultat de Cartan a des conséquences pratiques pour localiser les trajectoires d’une solution de l’équation différentielle.

On notera qu’il ne peut y avoir de croisement d’orbites en temps fini;
Si $\dot x{>}0={>}x$ croit;
On peut avoir une branche asymptotique au-dessus de l’axe des $x$;