Cours 5: Quelques outils fondamentaux: Notions de cycles limites (limit cycle of oscillations)

Cours 5: Quelques outils fondamentaux : La toolbox de l’aéroélasticité : Notions de cycles limites (limit cycle of oscillations)

1.2 Notions de cycles limites (limit cycle of oscillations)

Cycle limite d’oscillation

Définition Cycle limite de $M\ddot X+C\dot X+K X=F(X,\dot X)$ :
Soit $X(t),t{>}0$ une solution de l’équation ci-dessus (sans condition initiale): $X(t),t{>}0$ est un cycle limite si $\exists T\in {\mathbb R}^{+*}$ (la plus petite valeur de $T$ est la période du cycle), telle que

\[ \boxed {\forall t\in {\mathbb R}^{+},X(t+T)=X(t).} \]

Dans l’espace ${\mathbb R}^{2N}$ $t{>}0\rightarrow (X(t),\dot X(t))$ est alors une trajectoire fermée parcourue en un temps $T$. Si de plus: $\exists t_0\in ]0,\infty ]\hbox{ tel que: }\dot X(t_0)=\ddot X(t_0)=0$, le cycle limite $(X(t),t{>}t_0)$ est un point d’équilibre (stable ou non) solution de:

\[ KX=F(X,0). \]

Cycle résonant

$\includegraphics[width=5cm, height=5cm]{aeroimages/image5-5.png}$

(voir le code : python , matlab )

En coordonnées polaires ($N=1$): $(x,\dot x)\rightarrow (r,\varphi )$

\[ \dot r=a r- br^3,\dot\varphi =\omega +cr^2 \]

Cycle de Van der Pol

$\includegraphics[width=5cm, height=5cm]{aeroimages/image5-6.png}$

(voir le code : python , matlab )

\[ N=1,\ddot x+2\omega \varepsilon \dot x(x^2-1)+\omega ^2 x=0 \]

$(0,0)$ est un équilibre instable.