Cours 5: Quelques outils fondamentaux: Le théorème de Poincaré-Bendixson

Cours 5: Quelques outils fondamentaux : La toolbox de l’aéroélasticité : Le théorème de Poincaré-Bendixson

1.5 Le théorème de Poincaré-Bendixson

Le théorème de Poincaré-Bendixson

Définition Ensemble invariant par une EDO :
Soit $I\subset {\mathbb R}^2$ et $(x_0,x_1)\in I.$ Notons $x(t),t{>}0$ la solution de \[ m\ddot x+kx=f(x,\dot x),x(0)=x_0,\dot x(0)=x_1. \] Si $\forall (x_0,x_1)\in I={>}\forall t{>}0,(x(t),\dot x(t))\in I$ alors $I$ est dit invariant par l’EDO ci-dessus.

Théorème Existence d’un cycle limite

Supposons qu’il existe un ensemble $I$ invariant par l’EDO qui soit compact (fermé borné). Alors, soit il existe un cycle limite dans $I$, soit il y a un point d’équilibre sur l’axe des $x$ qui est éventuellement atteint en un temps infini.

(3 vidéos successives)

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Bien que simple dans le contexte envisagé, cette preuve nécessite quelques précautions d’ordre mathématique.