Cours 5: Quelques outils fondamentaux: Le critère de l’énergie

Cours 5: Quelques outils fondamentaux : La toolbox de l’aéroélasticité : Le critère de l’énergie

1.4 Le critère de l’énergie

Le critère de l’énergie

$x(t),\, t{>}0$ est encore un cycle limite dont l’orbite est $\partial D$ et l’ouvert délimité est $D$; ($N=1$). On note que:

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\[ 0=\displaystyle \int _0^ T(m\ddot x+kx)\dot xdt=\displaystyle \int _0^ Tf(x,\dot x)\dot xdt=\displaystyle \int _0^ T\displaystyle \frac{f(x,\dot x)-f(x,0)}{\dot x}\dot x^2dt. \]

Introduisons deux ouverts du plan des phases:

\[ \boxed {E^+\hskip-0.56905511811pt=\hskip-0.56905511811pt\{ (x,\dot x)\vert \frac{ f(x,\dot x)-f(x,0)}{\dot x}\hskip-0.56905511811pt{>}0\} ,E^-\hskip-0.56905511811pt=\hskip-0.56905511811pt\{ (x,\dot x)\vert \frac{ f(x,\dot x)\hskip-0.56905511811pt-\hskip-0.56905511811ptf(x,0)}{\dot x}\hskip-0.56905511811pt{<}0\} } \]

Lemme Le critère de l’énergie (PhD-MTR)

L’orbite $\partial D$ d’un cycle limte de l’équation:

\[ m\ddot x+kx=f(x,\dot x), \]

ne peut pas être contenue ni dans $E^+$ ni dans $E^-$. En ce sens le critère de l’énergie est plus précis que celui de Poincaré-Bendixson.