Cours 5: Quelques outils fondamentaux: Multiplication par $\dot x$, puis $\alpha x+\beta \dot x$

Cours 5: Quelques outils fondamentaux : Recherche d’ensembles d’invariants : Multiplication par $\dot x$, puis $\alpha x+\beta \dot x$

2.1 Multiplication par $\dot x$, puis $\alpha x+\beta \dot x$

Recherche d’ensembles d’invariants

Donnons un exemple de recherche d’ensembles invariants avec:
$f(x,\dot x)=p(x)+\dot x q(x), P,Q\hbox{ des primitives de $p$ et $q$}.$ On a:

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\[ \boxed { \begin{array}{l}\displaystyle \frac{d}{dt}(m\displaystyle \frac{\dot x^2}{2}+k\displaystyle \frac{x^2}{2}-P)=\dot x^2 q(x),\\ \displaystyle \frac{d}{dt}(m\frac{\dot x^2}{2}+k\frac{x^2}{2}-P -\dot x Q+\frac{Q^2}{2m})=\displaystyle \frac{Q}{m}(kx-p),\\ R^-=\{ (x,\dot x)\vert ~ q(x)\leq 0\} \hbox{ et }S^-=\{ (x,\dot x)\vert ~ Q(kx-p)\leq 0\} \end{array}} \]

Lemme Voir la vidéo ci-contre pour d’autres exemples

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Supposons $\exists c_0{>}0,c_1{>}0$ telle que les courbes du plan des phases:

\[ \boxed { \begin{array}{l}H=\{ (x,\dot x)\vert ~ (m\displaystyle \frac{\dot x^2}{2}+k\displaystyle \frac{x^2}{2}-P =c_0\} \\ J=\{ (x,\dot x)\vert ~ m\displaystyle \frac{\dot x^2}{2}+k\displaystyle \frac{x^2}{2}-P -\dot x Q+\displaystyle \frac{Q^2}{2m}=c_1\} .\end{array}} \]

soient fermées et contenues dans $R^-$ (resp. $S^-$). Alors l’ensemble entouré par $H$ (resp. $J$) est un ensemble invariant par l’EDO …