Cours 9: Contrôle du flutter: L’état adjoint

Cours 9: Contrôle du flutter : Définition d’un critère de contrôle : L’état adjoint

2.2 L’état adjoint

Introduction d’un état adjoint

De façon à exprimer l’équation d’optimalité en suivant les idées de Pontryaguine, on introduit une fonction vectorielle appelée état adjoint $P(t)\in {\mathbb R}^2$ solution de:

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\[ \boxed {M\ddot P+^{t} K P=0,MP(T)=\dot X(T),M\dot P(T)=-X(T).} \]

On déduit la relation d’optimalité caractérisant le contrôle optimal $\beta $:

\[ \boxed { (B,P(t))_2-(C,\dot P(t))_2+\varepsilon (a_0\beta (t)-b_0\ddot\beta (t))=0, \forall t\in ]0,T[.} \]

Puisque $\beta (0)=\beta (T)=0$, cette équation d’optimalité caractérise $\beta $ en fonction de $P$. Un calcul donne:

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\[ \boxed {\beta (t)=\frac{2}{T}\displaystyle \sum _{n\geq 1}\sin (\frac{n\pi t}{T})\displaystyle \int _0^ T\frac{(C,\dot P(s))_2-(B,P(s))_2}{\varepsilon (a_0+b_0\frac{n^2\pi ^2}{T^2})}\sin (\frac{n\pi s}{T})ds.} \]

Pour $C\hskip-1.42263779528pt=\hskip-1.42263779528pt0$ et $b_0\hskip-1.42263779528pt=\hskip-1.42263779528pt0$ (on ne peut plus imposer $\beta (0)\hskip-1.42263779528pt=\hskip-1.42263779528pt\beta (T)\hskip-1.42263779528pt=\hskip-1.42263779528pt0$), on a:

\[ \boxed {\beta (t)=-\frac{(B,P(t))_2}{a_0\varepsilon }.} \]