4 Passage à la limite

$\varepsilon \rightarrow 0$

On pose a priori: \[ \boxed { \left\{ \begin{array}{l}X=X^0+\varepsilon X_1+\ldots ,\\ P=P^0+\varepsilon P^1+\ldots ,\\ \beta =\beta ^0+\varepsilon \beta ^1+\ldots . \end{array}\right.} \] En reportant et en identifiant les termes de même puissance en $\varepsilon $ dans l’expression résultante, on obtient les différents systèmes de relations : Ordre 0 \[ \boxed {\begin{array}{l}M\ddot X^0+KX^0=F+B\beta ^0+C\dot\beta ^0,\\ X^0(0)=X_0,\dot X^0(0)=X_1,\\ M\ddot P^0+^{t}KP^0=0,\\ MP^0(T)=\dot X^0(T),M\dot P^0(T)=-X^0(T),\\ (B,P^0(t))_2-(C,\dot P^0(t))_2=0.\end{array}} \] Ordre 1 \[ \boxed {\begin{array}{l}M\ddot X^1+KX^1=F+B\beta ^1+C\dot\beta ^1,\\ X^1(0)=0,\dot X^1(0)=0,\\ M\ddot P^1+^{t}KP^1=0,\\ MP^1(T)=\dot X^1(T),M\dot P^1(T)=-X^1(T),\\ (B,P^1(t))_2-(C,\dot P^1(t))_2+a_0\beta ^0-b_0\ddot\beta ^0=0.\end{array}} \]

Caractérisation de $P^0$ et contrôlabilité

$P^0$ doit satisfaire $\forall t\geq 0$: \[ \begin{array}{l} (B,P^0)_2-(C,\dot P^0)_2=0 \\ \hbox{ et en posant} R=M^{-1} K^ t: \\ \ddot P^0+RP^0=0,\\ MP^0(T)=\dot X^0(T),\\ M\dot P^0(T)=-X^0(T). \end{array} \] Si $\forall t\geq 0, P^0(t)=0$ alors: \[ \boxed {X^0(T)=\dot X^0(T)=0,} \] le contrôle $\beta ^0$ sera dit exact!

Cas 1: $B$ et $C$ lin. ind. $\{ B,C\} $ est une base de ${\mathbb R}^2$. On note: $\{ B^*,C^*\} $ la base duale: \[ \boxed {\begin{array}{l}(B^*,B)_2=(C^*,C)_2=1,\\ (B^*,C)_2=(C^*,B)_2=0.\end{array}} \] Posons: $P^0=\xi _1(t)B^*+\xi _2(t)C^*$, d’où: \[ \left\{ \begin{array}{l} \xi _1(t)-\dot\xi _2(t)=0\\ \ddot\xi _1+ \xi _1\overbrace{(RB^*,B)_2}^{ =f_1}+\xi _2\overbrace{(RC^*,B)_2}^{ =f_2}=0,\\ \ddot\xi _2+ \xi _1\overbrace{(RB^*,C)_2}^{ =f_3}+\xi _2\overbrace{(RC^*,C)_2}^{ =f_4}=0.\end{array}\right. \]

On déduit en notant $r_1$ et $r_2$ les racines de : $r^2+f_3r+f_4=0$:
$\boxed {\ddot\xi _2+ \dot\xi _2f_3+\xi _2f_4=0={>}\xi _2=h_1e^{r_1 t}+h_2e^{r_2t}}$

Suite du calcul de $P^0$...

On obtient en reportant l’expression de $\xi _2$, que les deux racines $r_1$ et $r_2$ doivent satisfaire:

\[ \boxed {\forall t\geq 0,h_1e^{r_1t}[r_1^3+r_1 f_1+f_2]+h_2e^{r_2t}[r_2^3+r_2 f_1+f_2]=0,} \]

ce qui implique:

• si ni $r_1\neq r_2$ ne sont pas racines de $r^3+rf_1+f_2=0$=> $h_1=h_2=0={>}\xi _2(t)=\xi _1(t)\equiv 0={>}P^0(t)\equiv 0;$

• si $r_1$ ou/et $r_2$ est (sont) racines de $r^3+rf_1+f_2=0$, alors $\xi _1$ ou/et $\xi _2$ est (sont) non nul(s) et $P^0(t)\neq 0$. Il n’y a pas contrôlabilité exacte du système.  
  Remarque Autres cas, $B=0$ ou $C=0$ ou $B=\lambda C$ :
  Par exemple si $C=0$, mais $B\neq 0$ (qui le cas souvent considéré dans les tests expérimentaux et qui est le contrôle par braquage des gouvernes). On a: $(B,P^0(t))_2=0={>}P^0(t)=\xi (t)D\hbox{ où }(D,B)_2=0$. Soit: $\forall t\geq 0,\xi (t)(R D,B)_2=0.$
  Il y a contrôlabilité exacte si et seulement si $(RD,B)_2\neq 0$.