Cours 9: Contrôle du flutter: Construction d’un contrôle exact

Cours 9: Contrôle du flutter : Passage à la limite : Construction d’un contrôle exact

4.1 Construction d’un contrôle exact

Caractérisation de $\beta ^0$

Termes d’ordre 1:

\[ \left\{ \begin{array}{l}\ddot P^1+RP^1=0, (P^1(0)=\phi _0\in {\mathbb R}^2, \dot P^1(0)=\phi _1\in {\mathbb R}^2),\Phi =(\phi _0,\phi _1),\\ a_0\beta ^0-b_0\ddot\beta ^0=-(B,P^1)_2+(C,\dot P^1)_2,\beta ^0(0)=\beta ^0(T)=0.\end{array}\right. \]

Soit, par un calcul classique déjà explicité pour le calcul de $\beta $:

\[ \boxed {\beta ^0(t)=\frac{2}{T}\displaystyle \sum _{n\geq 1}\frac{\sin (\frac{n\pi t}{T})}{a_0+b_0\frac{n^2\pi ^2}{T^2}}\displaystyle \int _0^ T [(C,\dot P^1(s))_2-(B,P^1(s))_2]\sin (\frac{n\pi s}{T})ds.} \]

Soit $Q$ t.q. :

\[ \ddot Q+RQ=0,Q(0)=\delta \phi _0\in {\mathbb R}^2, \dot Q(0)=\delta \phi _1\in {\mathbb R}^2. \]

Puis, à partir de l’équation d’ordre zéro de $X^0$:

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\[ \begin{array}{l}\boxed {\forall \delta \Phi =(\delta \phi _0,\delta \phi _1)\in {\mathbb R}^4, \Lambda (\Phi ,\delta \Phi )=(MX_1,\delta \phi _0)_2-(MX_0,\delta \phi _1)_2+\displaystyle \int _0^ T(F,Q)ds}\end{array} \]\[ \hbox{où: } \boxed { \Lambda (\Phi ,\delta \Phi )=\frac{2}{T}\displaystyle \sum _{n\geq 1}\frac{\displaystyle \int _0^ T[(C,\dot P^1)_2-(B,P^1)_2]\sin (\frac{n\pi s}{T})ds\displaystyle \int _0^ T[(C,\dot Q)_2-(B,Q)_2]\sin (\frac{n\pi s}{T})ds}{(a_0+b_0\frac{n^2\pi ^2}{T^2})}.} \]