Cours 9: Contrôle du flutter: Propriétés de l’opérateur $\Lambda $

Cours 9: Contrôle du flutter : Passage à la limite : Propriétés de l’opérateur $\Lambda $

4.2 Propriétés de l’opérateur $\Lambda $

Propriétés de $\Lambda $ et résolution en $\beta ^0$

La forme bilinéaire $\Lambda $ est symétrique définie positive sur ${\mathbb R}^4$; voir:

On peut la représenter par une matrice $4\times 4$ symétrique et définie positive, notée $G$ (matrice du type Gram). Le vecteur inconnu $\Phi \in {\mathbb R}^4$ est alors solution de:

\[ \boxed {G\Phi =L} \]

où $L$ est le second membre associé à la forme linéaire:

\[ \boxed {l(\delta \Phi )=(MX_1,\delta \phi _0)_2-(MX_0,\delta \phi _1)_2+\displaystyle \int _0^ T(F,Q(s))ds} \]

Théorème Convergence de $\beta $ vers $\beta ^0$ lorsque $\varepsilon \rightarrow 0$ et $b_0{>}0$

On considère (par exemple) le cas $B=0$ et $C\neq 0$. Supposons que $(RD,C)_2\neq 0$ où $D\neq 0$, orthogonal à $C$. On a alors:

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\[ \displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\vert \vert \beta -\beta ^0\vert \vert _{1,]0,T[}(={ \sqrt {\displaystyle \int _0^ Ta_0\vert \beta -\beta ^0\vert ^2+b_0\vert \frac{d\beta }{dt}-\frac{d\beta ^0}{dt}\vert ^2}})=0. \]

De plus le contrôle $\beta ^0$ est celui de norme $H^1_0(]0,T[)$ minimale.