Cours 4: Le flottement des structures flexibles: Equation du mouvement

Cours 4: Le flottement des structures flexibles : Approche descriptive du phénomène : Equation du mouvement

1.2 Equation du mouvement

Equation du mouvement

Explicitons avec les notations:

$\bullet $ $J_ G$ ($J_0$) inertie en $G$, ($O$);

$\bullet $ $a=OG$

\[ \boxed {\begin{array}{l}M\ddot z+a\cos (\alpha )M\ddot\alpha -a\dot\alpha ^2\sin (\alpha ) M+kz=\displaystyle \frac{\varrho S V^2}{2}c_ z(\alpha ),\\ J_0\ddot\alpha +a\cos (\alpha )M\ddot z+c\alpha =\displaystyle \frac{\varrho S LV^2}{2}c_ m(\alpha ).\end{array}} \]

et en linéarisant autour de $\alpha =0$:

\[ \boxed {\begin{array}{l}M\ddot z+aM\ddot\alpha +kz=\displaystyle \frac{\varrho S V^2}{2}[c_ z(0)+\displaystyle \frac{\partial c_ z}{\partial \alpha }(0)\alpha ],\\ J_0\ddot\alpha +aM\ddot z+c\alpha =\displaystyle \frac{\varrho S LV^2}{2}[c_ m(0)+\displaystyle \frac{\partial c_ m}{\partial \alpha }(0)\alpha ].\end{array}} \]

soit sous forme matricielle:

\[ \boxed {\overbrace{\left(\begin{array}{l}\begin{array}{cc}M& aM\end{array}\\ \begin{array}{cc}aM& J_0\end{array}\end{array}\right)}^{M\hbox{ matrice des inerties}}\left(\begin{array}{l}\ddot z\\ \ddot\alpha \end{array}\right)+ \overbrace{\left(\begin{array}{l}\begin{array}{cc}k& -\displaystyle \frac{\varrho S V^2}{2}\displaystyle \frac{\partial c_ z}{\partial \alpha }(0)\end{array}\\ \begin{array}{cc}0& c-\displaystyle \frac{\varrho S LV^2}{2}\displaystyle \frac{\partial c_ m}{\partial \alpha }(0)\end{array}\end{array}\right)}^{K\hbox{ matrice des raideurs}}\left(\begin{array}{l} z\\ \alpha \end{array}\right) =\overbrace{\left(\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\varrho S V^2}{2}c_ z(0)\\ \displaystyle \frac{\varrho S L V^2}{2}c_ m(0)\end{array}\right)}^{F\hbox{ torseur aéro}}.} \]

Remarque $c_ m(0){>}0={>} a{>}0,c_ m(0){<}0={>} a{<}0$ :
Le torseur aéro équilibre celui du poids en vol normal.