Cours 5: Quelques outils fondamentaux: Le critère de Poincaré-Bendixson

Cours 5: Quelques outils fondamentaux : La toolbox de l’aéroélasticité : Le critère de Poincaré-Bendixson

1.3 Le critère de Poincaré-Bendixson

Le critère de Poincaré-Bendixson

Soit l’équation (un éventuel amortissement est dans $f$ et $N=1$):

\[ m\ddot x+kx=f(x,\dot x),x(0)=x_0,\dot x(0)=x_1,x(t)\in {\mathbb R}^ N. \]

Supposons que $x(t),t{>}0$ soit un cycle limite de l’équation ci-dessus.
Le couple $(x(t),\dot x(t)),t{>}0$ délimite dans le plan de coordonnées $x_1=x,x_2=\dot x$, un ouvert connexe $D$ de frontière $\partial D$ et la normale unitaire sortante à $D$ le long de $\partial D$ est:

\[ \nu =(\nu _1,\nu _2)=\frac{1}{\sqrt {\dot x^2+\ddot x^2}}(-\ddot x,\dot x), \hbox{ on a sur }\partial D: ds=\sqrt {\dot x^2+\ddot x^2}dt. \]

On pose $P=(0,f(x,\dot x))$ et on a sur $\partial D$:

\[ (P,\nu )ds=f(x,\dot x)\dot xdt=(m\ddot x+kx)\dot xdt. \]

La formule de Stokes nous donne:

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\[ \boxed {\displaystyle \int _ D div(P)dxd\dot x=\displaystyle \int _ D\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \dot x}(x,\dot x)dxd\dot x=\displaystyle \int _{\partial D}f(x,\dot x)\nu _2ds=\displaystyle \int _0^ T(m\ddot x+kx)\dot xdt=0.} \]

Formulation du critère

On introduit les deux ensembles (on rappelle que $N=1$):

\[ \boxed { P^+=\{ (x,\dot x)\vert ~ \frac{\partial f}{\partial \dot x}(x,\dot x){>}0\} , P^-=\{ (x,\dot x)\vert ~ \frac{\partial f}{\partial \dot x}(x,\dot x){<}0\} .} \]

Soit $x(t),t{>}0$ un cycle limite d’oscillations et notons $D$ l’ouvert délimité par ce cycle dans le plan des phases $(x,\dot x)$.

Lemme Critère de Poincaré-Bendixson

L’ouvert $D$ ne peut pas être contenu ni dans $P^+$ ni dans $P^-$. Attention le critère porte sur l’ouvert $D$ et non pas sur sa frontière $\partial D$.

$\includegraphics[width=4cm,height=3cm]{aeroimages/image5-11.png}$ $\includegraphics[width=4cm,height=3cm]{aeroimages/image5-12.png}$